Matemática

Dividir polinomios usando la división sintética (Ruffini) y el algoritmo de la división. Aplicar el teorema del factor y del resto para factorizar y encontrar raíces de polinomios. Resolver ecuaciones polinómicas de grado mayor que 2 usando factorización y raíces racionales.

• Aplica la división sintética para dividir un polinomio por un binomio lineal.
• Usa el teorema del resto para evaluar un polinomio sin desarrollarlo completamente.
• Factoriza polinomios de grado 3 y 4 usando el teorema del factor y raíces racionales.
• Resuelve ecuaciones polinómicas de grado ≥ 3 en contextos aplicados.

Aplicar el principio multiplicativo del conteo. Calcular permutaciones con y sin repetición y combinaciones en problemas de conteo. Usar la notación factorial y los coeficientes binomiales. Aplicar el binomio de Newton para expandir potencias de binomios y resolver problemas relacionados.

• Distingue y aplica el principio multiplicativo, permutaciones y combinaciones según el problema.
• Calcula el número de formas de seleccionar y ordenar objetos con y sin repetición.
• Aplica el binomio de Newton para expandir (a + b)ⁿ y encontrar términos específicos.
• Resuelve problemas de probabilidad clásica usando herramientas de combinatoria.

Determinar el término general, la suma de series aritméticas y geométricas finitas. Explorar el concepto de serie geométrica infinita cuando |r| < 1. Aplicar la notación sigma (Σ) para representar sumas. Modelar fenómenos de crecimiento, decaimiento y situaciones financieras de mayor complejidad.

• Calcula sumas de series aritméticas y geométricas finitas con la notación sigma.
• Determina la suma de una serie geométrica infinita convergente y sus condiciones.
• Modela situaciones de amortización y valor futuro usando series geométricas.
• Demuestra la fórmula de la suma de la serie geométrica por inducción básica.

Operar con matrices de distintos órdenes: suma, resta, multiplicación escalar y producto matricial. Conocer la no-conmutatividad del producto y otras propiedades. Identificar la matriz identidad y la matriz nula. Calcular la matriz transpuesta e interpretar su significado geométrico y algebraico.

• Realiza correctamente las operaciones suma, resta, producto escalar y producto matricial.
• Justifica con ejemplos la no-conmutatividad del producto de matrices.
• Calcula la transpuesta de una matriz e identifica matrices simétricas.
• Aplica operaciones matriciales para modelar transformaciones lineales básicas.

Calcular el determinante de matrices 2×2 y 3×3 usando expansión por cofactores y la regla de Sarrus. Determinar cuándo existe la matriz inversa y calcularla para matrices 2×2. Aplicar la regla de Cramer para resolver sistemas de ecuaciones 2×2 y 3×3.

• Calcula determinantes 2×2 y 3×3 usando distintos métodos y verifica resultados.
• Determina si una matriz 2×2 es invertible a partir de su determinante.
• Calcula la inversa de una matriz 2×2 y verifica que A·A⁻¹ = I.
• Aplica la regla de Cramer para resolver sistemas de 2 y 3 ecuaciones.

Resolver sistemas de ecuaciones lineales de hasta 3×3 usando la matriz aumentada y el método de eliminación de Gauss-Jordan (reducción por filas). Interpretar los tres casos posibles: solución única, infinitas soluciones o sin solución. Aplicar en modelamiento de problemas de redes, economía e ingeniería.

• Construye la matriz aumentada de un sistema de ecuaciones y la reduce por filas.
• Interpreta la forma escalonada reducida para determinar el tipo de solución.
• Resuelve sistemas 3×3 con solución única, parámetrica y sin solución.
• Aplica la resolución de sistemas para modelar problemas contextualizados.

Comprender el concepto de límite de una función en un punto y en el infinito de forma intuitiva y gráfica. Calcular límites aplicando propiedades algebraicas, factorización y racionalización. Identificar discontinuidades y asíntotas a partir del comportamiento del límite.

• Calcula límites de funciones polinómicas, racionales y con radicales aplicando propiedades.
• Resuelve indeterminaciones del tipo 0/0 mediante factorización o racionalización.
• Determina asíntotas verticales y horizontales a partir del comportamiento del límite.
• Interpreta gráficamente el concepto de límite y distingue límite de imagen.

Comprender la derivada como límite del cociente incremental e interpretarla como tasa de cambio instantánea y pendiente de la recta tangente. Aplicar las reglas de derivación: potencia, producto, cociente y cadena. Derivar funciones polinómicas, racionales, exponenciales y trigonométricas básicas.

• Calcula la derivada de funciones polinómicas y racionales usando la definición y las reglas.
• Aplica la regla del producto y del cociente en funciones compuestas.
• Determina la ecuación de la recta tangente a una curva en un punto dado.
• Interpreta la derivada como tasa de cambio en contextos de física, biología y economía.

Usar la derivada primera para determinar intervalos de crecimiento y decrecimiento, y localizar máximos y mínimos locales. Usar la derivada segunda para analizar la concavidad y los puntos de inflexión. Resolver problemas de optimización en contextos reales: maximizar áreas, minimizar costos, optimizar diseño y movimiento rectilíneo.

• Determina los intervalos de crecimiento y decrecimiento de una función usando f'(x).
• Clasifica puntos críticos como máximos, mínimos o ninguno usando la prueba de la segunda derivada.
• Resuelve problemas de optimización estableciendo la función objetivo y las restricciones.
• Construye el bosquejo completo de la curva de una función usando límites y derivadas.

Comprender el número imaginario i = √(-1) como extensión de los reales. Operar con números complejos en forma binómica: suma, resta, producto y cociente. Representar en el plano de Argand y calcular módulo y argumento. Introducir la forma trigonométrica z = r(cosθ + i·senθ) y el teorema de De Moivre.

• Opera con números complejos en forma binómica y obtiene el conjugado y el módulo.
• Divide números complejos multiplicando por el conjugado del denominador.
• Representa números complejos en el plano de Argand y calcula módulo y argumento.
• Convierte entre forma binómica y trigonométrica y aplica el teorema de De Moivre para potencias.

Obtener las ecuaciones canónicas de parábola, elipse e hipérbola a partir de su definición geométrica. Identificar focos, vértices, directriz, asíntotas y ejes. Graficar cónicas con centro en el origen y trasladadas. Aplicar en astrofísica (órbitas), óptica (reflectores) e ingeniería (antenas parabólicas).

• Determina la ecuación de una cónica dados sus elementos (focos, vértices, excentricidad).
• Identifica los elementos de una cónica a partir de su ecuación y la grafica correctamente.
• Traslada cónicas al completar cuadrados en ecuaciones generales de segundo grado.
• Aplica las propiedades reflectoras de parábolas y elipses en contextos tecnológicos.

Determinar la ecuación de una curva como lugar geométrico de puntos que satisfacen una condición dada. Resolver sistemas de ecuaciones no lineales (cónica con recta, dos cónicas) y analizar sus soluciones gráficamente. Modelar situaciones de ingeniería, diseño y ciencia usando cónicas y su intersección con otras curvas.

• Determina la ecuación de un lugar geométrico a partir de su descripción verbal o condición.
• Resuelve sistemas cónica-recta algebráica y gráficamente, interpretando la solución.
• Analiza el número y tipo de intersecciones usando el discriminante del sistema.
• Modela situaciones reales (cobertura de antenas, trayectorias) usando cónicas.